Analysis 2 Formelsammlung

Taylor-Reihen

Taylor-Polynom

Ein Taylor-Polynom approximiert eine Funktion $f(x)$ um einen Entwicklungspunkt $x_0$. Je höher die Ordnung des Polynoms, desto "ähnlicher" ist es zu $f(x)$ um den Punkt $x=x_0$:

Ein Taylor-Polynom $p_N$ mit $N$-ter Ordnung der Funktion $f(x)$ um den Punkt $x_0$
$$p_N (x) = \sum_{i=0}^N \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} {(x-x_0)}^i$$

Taylor-Reihe

Eine Taylor-Reihe ist ein Taylor-Polynom mit "unendlich hohem Grad"

$$t(x) = \sum_{i=0}^\infty\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!} {(x-x_0)}^i$$

Fehlerrechnung

folgt noch...

Unbestimmte Integrale

Definition / Eigenschaften

Definition: Die Menge aller Stammfunktionen des Integranden $$f(x) = \frac d{dx} F(x)$$ $$\int f(x)\,dx = F(x) + const$$

Die Ableitung macht die Integration rückgängig: $$f(x) = \frac d{dx} \left(\int\,f(x) dx\right)$$

Das Integral macht die Ableitung rückgängig, bis auf die Konstante $$f(x) + const = \int f'(x)\,dx$$

Wichtigste Integrale

Integral	Regel	Bemerkung
$$\int x^a\,dx$$	$$\frac 1{a+1}\,x^{a+1} + const$$	für alle $a \in \mathbb R \setminus \{-1\}$
$$\int K\,dx$$	$$K \cdot x + const$$	Spezialfall mit $a=0$
$$\int x\,dx$$	$$\frac 12\,x^2 + const$$	Spezialfall mit $a=1$
$$\int \sqrt x\,dx$$	$$\frac 23\,x^{3/2} + const$$	Spezialfall mit $a=\frac 12$
$$\int \frac 1{\sqrt x}\,dx$$	$$2\sqrt x + const$$	Spezialfall mit $a=-\frac 12$
$$\int e^x\,dx$$	$$e^x + const$$
$$\int a^x\,dx$$	$$\frac 1{\ln(a)}\,a^x + const$$	Spezialfall, wegen $a^x = e^{\ln(a)\,\cdot\,x}$
$$\int \sin (x)\,dx$$	$$-\,\cos (x) + const$$
$$\int \cos (x)\,dx$$	$$\sin (x) + const$$

Integrationsregeln

Linearitätsregel

Durch Plus und Minus getrennte Terme dürfen komponentenweise integriert werden $$\int\alpha f(x)+\beta g(x)\,dx = \alpha\int f(x)\,dx+\beta\int g(x)\,dx$$

Substitutionsregeln

Der Integrand ist ein Produkt zweier Funktionen $f(x)$ und $g'(x)$. Voraussetzungen:

1. $g(x)$ ist in $f(x)$ verschachtelt: $f(g(x))$
2. Die Ableitung der inneren Funktion $g(x)$ ist der zweite Faktor
3. Benötigt wird die Stammfunktion $F$ der äusseren Funktion $f$

$$\int f(g(x))\cdot g'(x)\,dx = F(g(x)) + const$$

Spezialfälle der Substitutionsregel

• Das Argument der Funktion ist ein linearer Term: $$\int f(ax+b)\,dx = \frac 1a F(ax+b) + const$$

• Der Integrand ist das Produkt aus einer Potenz und der Ableitung des Arguments der Potenz $$\int (g(x))^q\cdot g'(x)\,dx = \begin{cases} \frac 1{q+1}g^{q+1} (x) + const & \text{für}\; q \not = -1 \\ \ln (|g(x)|) + const & \text{für}\; q = -1 \end{cases}$$

• Die Potenz ist im Fall $q = 1$ ("Funktion mal Ableitung") nicht zu erkennen: $$\int g(x)\cdot g'(x)\,dx = \int (g(x))^1\cdot g'(x)\, dx$$

• Ein Integrand als Bruch kann umgeschrieben werden $$\int\frac{g'(x)}{(g(x))^q}\,dx = \int (g(x))^{-q}\cdot g'(x)\,dx$$
• "Ableitung durch Funktion" kann ohne integrieren gelöst werden: $$\int\frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln(|g(x)|) + const$$

Partielle Integration

Voraussetzung: Der Integrand ist ein Produkt.
Ist nur nützlich, wenn das verbleibende Integral einfacher zu berechnen ist, als das ursprüngliche. Dies z.B. wenn $g(x)$ ein Polynom ist und $f(x)$ einer der Funktionen $e^x, \sin(x), \cos(x)$.

$$\int f(x)\,g(x)\, = F(x)\,g(x) - \int F(x)\,g'(x)\, dx$$

Vorgehen am Beispiel:

$\int \underbrace{e^x}_{\int\cdot}\cdot\underbrace{x^2+3x}_{\frac d{dx}\left(\cdot\right) }\, dx = e^x \cdot (x^2+3x) - \int \underbrace{e^x}_{\int\cdot}\cdot\underbrace{(2x+3)}_{\frac d{dx}(\cdot)}\,dx$
$\quad e^x\;\cdot\;(2x+3)\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \underbrace{e^x\quad\cdot\quad 2}_{\text{Verbleibendes Integral}}$
$=e^x\cdot (x^2+3x) - \left(e^x\cdot(2x+3)-\int e^x \cdot 2\, dx\right)$
$=e^x\cdot (x^2+3x) - e^x\cdot(2x+3)+2e^x + const$
$\underline{\underline{= e^x(x^2+x - 1) + const}}$